अमूर्त बीजगणित (Abstract Algebra)

वलय सिद्धान्त तथा रैखिक बीजावली (Ring Theory and Linear Algebra)

This book includes the following topics

वलय/रिंग (Ring)

• परिचय (Introduction)
• वलय/रिंग (Ring)
• वलय के उदाहरण (Examples of ring)
• क्रमविनिमेय वलय (Commutative ring)
• इकाई सहित वलय (Ring with unity)
• शून्य भाजक सहित वलय (Ring with zero divisor)
• शून्य भाजक रहित वलय (Ring without zero divisor)
• पूर्णांकीय प्रान्त (Integral domain)
• विभाजन वलय (Division ring)
• क्षेत्र (Field)
• बूलियन वलय (Boolean ring)
• वलय में निरसन नियम (Cancellation laws in ring)
• वलय का एकांक अवयव (Unit element of a ring)
• वलय का अभिलक्षण (Characteristic of a ring)
• पूर्णाकीय प्रान्त तथा क्षेत्र का अभिलक्षण (Characteristic of an integral domain and field)

उपवलय तथा उपक्षेत्र (Subring and Subfield)

• उपवलय (Subring)
• विषम या तुच्छ उपवलय (Improper or trivial subring)
• उपवलय के उदाहरण (Examples of subring)
• उपवलय के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध (Necessary and sufficient condition for a subring)
• दो उपवलयों का सर्वनिष्ठ (Intersection of two subrings)
• वलय का केन्द्र (Centre of ring)
• वलय के अवयव का प्रसामान्यक (Normalizer of an element of ring)
• दो उपवलयों का योग (Sum of two subrings)
• उपक्षेत्र (Subfield)
• अभाज्य क्षेत्र (Prime field)
• उपक्षेत्र के उदाहरण (Examples of subfield)
• उपक्षेत्र के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध (Necessary and sufficient condition for a subfield)

गुणजावलियाँ तथा वलय समाकारिता (Ideals and Ring Morphism)

• गुणजावली (Ideal)
• एकल तथा शून्य गुणजावली (Unit and zero ideal)
• उचित गुणजावली (Proper ideal)
• सरल वलय (Simple ring)
• मुख्य गुणजावली (Principal ideal)
• अभाज्य गुणजावली (Prime ideal)
• मुख्य गुणजावली वलय (Principal ideal ring)
• मुख्य गुणजावली प्रान्त (Principal ideal domain)
• उच्चिष्ठ गुणजावली (Maximal ideal)
• विभाग वलय या खण्ड वलय (Quotient ring)
• विभाग वलय की परिभाषा (Definition of quotient ring)
• वलय समाकारिता (Ring morphism/Ring homomorphism)
• वलय समाकारिता के प्रकार (Types of ring morphism)
• वलय समाकारिता की अष्टि (Kernel of a ring morphism)
• वलय समाकारिता की मूलभूत प्रमेय या तुल्यकारिता का प्रथम प्रमेय (Fundamental theorem of ring morphism or first theorem of isomorphism)
• तुल्यकारिता का द्वितीय प्रमेय (Second theorem of isomorphism)
• तुल्यकारिता का तृतीय प्रमेय (Third theorem of isomorphism)
• वलय का अन्तःस्थापन (Embedding of a ring)
• पूर्णांकीय प्रान्त का क्षेत्र में अन्तःस्थापन (Embedding of an integral domain into a field)
• विभाग क्षेत्र (Field of quotient)

सदिश समष्टियाँ तथा सदिश उपसमष्टियाँ (Vector Spaces and Vector Subspaces)

• परिचय (Introduction)
• आन्तरिक एवम् बाह्य संक्रियाएँ (Internal and external operations)
• सदिश समष्टि (Vector space)
• सदिश समष्टि के विभिन्न संकेत (Various notations of vector space)
• सदिश समष्टि के प्रारम्भिक गुणधर्म (Elementary properties of vector space)
• सदिश उपसमष्टि (Vector subspace)
• उपसमष्टि के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त प्रतिबन्ध (Necessary and sufficient conditions for vector subspace)
• दो उपसमष्टियों का सर्वनिष्ठ (Intersection of two subspaces)
• दो उपसमष्टियों का संघ (Union of two subspaces)

आधार एवं विमाएँ (Basis and Dimensions)

• परिचय (Introduction)
• महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important definitions)

एकघात संचय (Linear combination)
एकघातीय विस्तृती (Linear span)
दो उपसमष्टियों का एकघातीय योग (Linear sum of two subspaces)
दो उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग (Direct sum of two subspaces)
रैखिक स्वतन्त्रता तथा रैखिक आश्रितता (Linear independence and linear dependence)

• रैखिक विस्तृति, रैखिक योग तथा प्रत्यक्ष योग पर आधारित प्रमेय (Theorem based on linear span, linear sum and direct sum)
• पूरक उपसमष्टि का अस्तित्व (Existence of complementary subspace)
• रैखिक आश्रितता एवं स्वतन्त्रता पर आधारित प्रमेय (Theorem based on linear dependence and linear independence)
• सदिश समष्टि पर आधारित महत्वपूर्ण परिभाषाएँ (Important definitions based on vector space)

सदिश समष्टि का आधार (Basis of a vector space)
सदिश समष्टि की विमा (Dimension of a vector space)
परिमित विमीय सदिश समष्टि (Finite dimensional vector space)
सदिश समष्टि V_n(F) के अवयवों का निर्देशांक निरूपण [Co-ordinate representation of elements of a vector space V_n(F)]
सहसमुच्चय (Cosets)
विभाग समष्टि (Quotient space)

• आधार, विमा तथा विभाग समष्टि पर आधारित प्रमेय (Theorem based on basis, dimension and quotient space)

आधार के लिए अस्तित्व प्रमेय (Existence theorem for basis)
आधार के लिए निश्चरता प्रमेय (Invariance theorem for basis)
आधार के लिए विस्तार प्रमेय (Extension theorem for basis)
संपूरक उपसमष्टि का अस्तित्व (Existence of complementary subspace)
उपसमष्टि की विमा (Dimension of subspace)
रैखिक योग तथा प्रत्यक्ष योग की विमा (Dimension of linear sum and direct sum)
विभाग समष्टि प्रमेय (Quotient space theorem)
विभाग समष्टि की विमा (Dimension of quotient space)

रैखिक रूपान्तरण तथा इसकी बीजगणित (Linear Transformation and It’s Algebra)

• परिचय (Introduction)
• रैखिक रूपान्तरण या सदिश समष्टि समाकारिता (Linear transformation or vector space homomorphism)
• सदिश समष्टियों के बीच समाकारिता के विभिन्न प्रकार (Different types of homomorphism between vector spaces)
• रैखिक रूपान्तरण की अष्टि या शून्य समष्टि (Kernal of linear transformation or null space)
• सदिश समष्टियों की तुल्यकारिता (Isomorphism of vector space)
• रैखिक रूपान्तरण की परास तथा परास समष्टि (Range and range space of linear transformation)
• रैखिक रूपान्तरण की शून्यता तथा कोटि (Nullity and rank of linear transformation)
• रैखिक रूपान्तरण के गुणधर्मों पर आधारित प्रमेय (Theorems based on properties of linear transformation)
• अस्तित्व एवं अद्वितीयता (Existence and uniqueness)
• सदिश समष्टि समाकारिता की मूलभूत प्रमेय (Fundamental theorem of space homomorphism)
• सिल्वेस्टर का शून्यता नियम या कोटि शून्यता प्रमेय (Sylvester law of nullity or Rank-nullity theorem)

रैखिक रूपान्तरणों का बीजगणित (Algebra of linear transformation)

• रैखिक रूपान्तरणों का समुच्चय (Set of linear transformations)
• रैखिक रूपान्तरणों में संक्रियाएँ (Operations on linear transformations)
• द्वैती समष्टि (Dual space)
• द्वि-द्वैती समष्टि (Bidual space)
• द्वैती आधार (Dual basis)
• प्राकृत प्रतिचित्रण तथा स्वतुल्यता (Natural mapping and reflexivity)
• समष्टि L (V, V’) की विमा [Dimension of vector space L (V, V’)]
• रैखिक रूपान्तरण का मैट्रिक्स (आव्यूह) के रूप में निरूपण (Representation of a linear transformation as matrix)

द्विरैखिक तथा द्विघात रूप (Bilinear and Quadratic Form)

• परिचय (Introduction)
• द्विरैखिक रूप (Bilinear form)
• सममित तथा असममित या विषम सममित रूप (Symmetric and antisymmetric or skew-symmetric form)
• द्विघात रूप (Quadratic form)
• द्विरैखिक तथा द्विघात रूप का मैट्रिक्स निरूपण (Matrix representation of bilinear and quadratic form)

द्विरैखिक रूप का मैट्रिक्स निरूपण (Matrix representation of bilinear form)
द्विघात रूप का मैट्रिक्स निरूपण (Matrix representation of quadratic form)

• अपभ्रष्ट तथा अनअपभ्रष्ट रूप (Degenerate and non-degenerate form)
• द्विरैखिक तथा द्विघात रूप पर आधारित प्रमेय (Theorems based on bilinear and quadratic form)

द्विरैखिक रूप का अस्तित्व एवम् अद्वितीयता (Existence and uniqueness of bilinear form)