अग्रगत कलन (Advanced Calculus)

अग्रगत अवकलन, समाकलन तथा सदिश कलन (Advanced Differential Calculus, Integral Calculus and Vector Calculus)

This book includes the following topics

सांतत्यता (Continuity)

• परिचय (Introduction)
• सीमा (Limit)
• दायीं तथा बायीं सीमा (Left and right limit)
• किसी फलन की दायीं तथा बायीं सीमा ज्ञात करना (To find the R.H.L. and L.H.L. of a function)
• सीमा का अस्तित्व (Existence of limit)
• फलन के मान तथा सीमा में अन्तर (Distinction between the value and limit of a function)
• सीमा पर आधारित कुछ प्रमेय (Some theorems based on limits)
• फलनों की सीमा ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of finding the limit of functions)
• कुछ मानक सीमाएँ (Some standard limits)
• कॉशी की सांतत्यता की परिभाषा (Cauchy’s definition of continuity)
• दायीं तथा बायीं ओर से सांतत्यता (Continuity from left and right)
• एक अन्तराल में फलन की सांतत्यता (Continuity of a function in an interval)

विवृत अन्तराल में सांतत्यता (Continuity in the open interval); संवृत अन्तराल में सांतत्यता (Continuity in the closed interval)

• सतत् फलन (Continuous function)
• सांतत्यता की हेने परिभाषा या अनुक्रमिक सांतत्यता (Heine’s definition of continuity or sequential continuity)
• असांतत्यता तथा इसके प्रकार (Discontinuity and its types)

अपनेय असांतत्यता (Removable discontinuity); प्रथम प्रकार की असांतत्यता या साधारण असांतत्यता (Discontinuity of first kind or ordinary discontinuity); द्वितीय प्रकार की असांतत्यता (Discontinuity of the second kind); मिश्रित असांतत्यता (Mixed discontinuity)

• सतत् फलनों के गुणधर्म (Properties of continuous functions)
• एकसमान सांतत्यता (Uniform continuity)
• दो चरों का फलन (Function of two variables)
• दो चरों के फलन की सीमा (Limit of function of two variables)
• दो चरों वाले फलनों की सांतत्यता (Continuity of function of two variables)

अवकलनीयता (Derivability)

• अवकलनीय फलन (Differentiable or derivable function)
• दायाँ तथा बायाँ अवकलज (Right hand and left hand derivative)
• अन्तराल में फलन की अवकलनीयता (Differentiability of a function in an interval)
• अवकलनीयता के कुछ मानक परिणाम (Some standard results on differentiability)
• परिमित अवकलज के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त (Necessary condition for the existence of a finite derivative)
• अवकलजों के बीजगणितीय गुणधर्म (Algebraic properties of derivatives)
• श्रृंखला नियम या फलन के फलन का अवकलज (Chain rule or derivative of function of a function)
• प्रतिलोम फलन का अवकलज (Derivative of the inverse function)
• अवकलजों के गुणधर्म (Properties of derivative)
• अवकलजों के लिए डार्बू मध्यवर्ती मान प्रमेय (Darboux intermediate value theorem for derivatives)
• दो चरों वाले फलनों की अवकलनीयता (Differentiability of functions of two variables)
• अवकलनीयता के लिए आवश्यक तथा पर्याप्त शर्त (Necessary and sufficient condition for differentiability)
• पूर्ण अवकलज (Total derivative)
• दो चरों वाले वास्तविक मानीय फलनों के बीजगणितीय गुणधर्म (Algebraic property of differentiability of real valued functions of two variables)
• ध्रुवीय निर्देशांकों में अवकलनीयता के लिए प्रतिबन्ध (Condition for differentiability in polar coordinates)

आंशिक अवकलन (Partial Differentiation)

• परिचय (Introduction)
• आंशिक अवकल गुणांक (Partial differential coefficients)
• उच्च कोटि के आंशिक अवकलज (Partial derivatives of higher order)
• समघात फलन (Homogeneous functions)
• समघात फलनों के लिए आयलर प्रमेय (Euler’s theorem for homogeneous functions)
• सम्पूर्ण अवकल गुणांक (Total differential coefficient)
• अस्पष्ट फलनों का अवकलन (Differentiation of implicit functions)

उच्चिष्ठ तथा निम्निष्ठ (Maxima and Minima)

• परिचय (Introduction)
• दो चरों वाले फलनों के चरम मान (Extreme values of functions of two variables)
• फलन f (x, y) के चरम मान की कसौटी (Criteria for extreme value of f (x, y))
• चरम मान ज्ञात करने की क्रिया विधि (Working method of finding extreme values)
• अनिर्धारित गुणकों के लिए लाग्रांज-विधि (Lagrange’s method for undetermined multipliers)

अन्वालोप एवं केन्द्रज (Envelopes and Evolutes)

• वक्र-कुल (Family of curves)
• अन्वालोप (Envelope)
• अन्वालोप ज्ञात करने की विधि (Method of finding the envelope)
• अन्वालोप ज्ञात करने की क्रिया विधि (Working method for finding envelope)
• अन्वालोप तथा वक्र-कुल के प्रत्येक सदस्य में सम्बन्ध (Relation between envelope and each member of the family of curves)
• अन्वालोप ज्ञात करना, जब दो प्राचल एक सम्बन्ध द्वारा सम्बन्धित हों (To find the envelope, when two parameters are connected by a relation)
• केन्द्रज (Evolute)

जेकोबियन (Jacobians)

• परिचय (Introduction)
• परिभाषा (Definition)
• फलन के फलन का जेकोबियन (Jacobians of functions of functions)
• अस्पष्ट फलनों का जेकोबियन (Jacobians of implicit functions)
• फलनों की आश्रयता (Dependence of functions)

द्वि-समाकल (Double Integrals)

• परिचय (Introduction)
• द्वि-समाकल (Double integration)
• द्वि-समाकल ज्ञात करने की विधि (Method of finding double integral)
• ध्रुवी निर्देशांकों में द्वि-समाकल (Double integral in polar coordinates)
• कार्तीय द्वि-समाकल का ध्रुवी निर्देशांकों में परिवर्तन (Change of double integral from cartesian to polar coordinates)
• समाकलन के क्रम में परिवर्तन (Change of order of integration)
• द्वि-समाकल के अनुप्रयोग (Applications of double integrals)

क्षेत्रफल (Area); द्रव्यमान या संहति (Mass)

त्रि-समाकल (Triple Integrals)

• परिचय (Introduction)
• त्रि-समाकल का मूल्यांकन (Evaluation of triple integral)
• डिरिचलेट समाकल (Dirichlet’s integral)
• डिरिचलेट समाकल का लिओविले व्यापीकरण (Liouville’s extension of Dirichlet’s integral)
• डिरिचलेट व्यापक प्रमेय (Dirichlet’s general theorem)
• त्रि-समाकल के अनुप्रयोग (Applications of triple integral)

परिक्रमण से प्राप्त ठोसों के आयतन एवं पृष्ठ (Volume and Surface of Solids of Revolution)

• परिचय (Introduction)
• कार्तीय वक्रों के परितः परिक्रमण से प्राप्त ठोसों का आयतन (Volume of solids of revolution of cartesian curves)
• किसी रेखा के परितः परिक्रमण से जनित आयतन (Volume generated by revolution about any line)
• ध्रुवीय वक्रों के परितः परिक्रमण से प्राप्त ठोसों का आयतन (Volume of solids of revolution of polar curves)
• दीर्घाक्ष तथा लघ्वाक्ष गोलाभ (Prolate and oblate spheroid)
• कार्तीय वक्रों के परितः परिक्रमण से प्राप्त ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area of solids of revolution of cartesian curves)

अवकल संकारक (Differential Operators)

• परिचय (Introduction)
• सदिशों के अवकलन सूत्र (Differential formulae for vectors)
• सदिशों के आंशिक अवकलज (Partial derivatives of vectors)
• सदिश अवकल संकारक (Vector differential operator) ▽
• अदिश बिन्दु फलन तथा अदिश क्षेत्र (Scalar point function and scalar field)
• सदिश बिन्दु फलन तथा सदिश क्षेत्र (Vector point function and vector field)
• अदिश बिन्दु फलन की प्रवणता (Gradient of scalar point function)
• प्रवणता पर आधारित प्रमेय (Theorem based on gradient)
• a ⋅ ▽ संकारक ladkjd (a ⋅ ▽ operator)
• दिक् अवकलज (Directional derivative)
• दिक् अवकलज पर आधारित प्रमेय (Theorems based on directional derivatives)
• स्पर्श तल की सदिश समीकरण (Vector equation of tangent plane)
• अभिलम्ब की सदिश समीकरण (Vctor equation of the normal)
• सदिश बिन्दु फलन का अपसरण (Divergence of a vector point function)
• परिनालिकीय सदिश (Solenoidal vector)
• अपसरण पर आधारित प्रमेय (Theorem based on divergence)
• सदिश बिन्दु फलन का कर्ल या कुन्तल (Curl of a vector point function)
• अघूर्णीय सदिश (Irrotational vector)
• कर्ल पर आधारित प्रमेय (Theorem based on curl)
• कुछ महत्वपूर्ण सदिश सर्वसमिकाएँ (Some important vector identities)
• द्वि-कोटि अवकलनीय फलन तथा इसके गुणधर्म (Second order differential function and its properties)

सदिश समाकलन (Vector integrationn)

• परिचय (Introduction)
• समाकलन का सदिश स्थिरांक (Vector constant of integration)
• कुछ महत्वपूर्ण समाकल परिणाम (Some important integral result)
• रेखीय समाकलन या रेखा समाकलन (Linear integral or line integral)
• अघूर्णी सदिश(Irrotational vector)
• कार्य (Work)

समाकल प्रमेय (Integral theorems)

• परिचय (Introduction)
• पृष्ठ समाकल या पृष्ठीय समाकल (Surface integral)
• आयतन समाकल (Volume integral)
• गॉस का अपसरण प्रमेय (Gauss’s divergence theorem)
• स्टॉक प्रमेय (Stoke’s theorem)
• ग्रीन प्रमेय (Green’s theorem)
• ग्रीन प्रमेय का कार्तीय रूप (Cartesian form of Green’s theorem)