मैट्रिक्स, समीकरण सिद्धान्त एवं समूह सिद्धान्त (Matrices, Theory of Equation and Group Theory)

लेखक: डॉ. विमल सारस्वत, डॉ. गजेन्द्रपाल सिंह राठौड़ 

मैट्रिक्स तथा इसकी जाति (Matrix and its Rank)

• परिचय (Introduction)
• मैट्रिक्स के प्रकार (Types of matrices)
• मैट्रिक्स की संक्रियाएं या मैट्रिक्स बीजगणित (Operation on matrices or matrix algebra)
• मैट्रिक्स योग के गुणधर्म (Properties of matrix addition)
• मैट्रिक्स अदिश गुणन के गुणधर्म (Properties of scalar multiplication of matrix)
• मैट्रिक्स की ट्रेस (Trace of a matrix)
• मैट्रिक्सों का गुणा (Multiplication of matrices)
• मैट्रिक्स गुणन के गुणधर्म (Properties of matrix multiplication)
• परिवर्त मैट्रिक्स (Transpose matrix)
• सममित तथा विषम-सममित मैट्रिक्स (Symmetric and skew symmetric matrix)
• लाम्बिक मैट्रिक्स (Orthogonal matrix)
• संयुग्मी मैट्रिक्स (Conjugate matrix)
• संयुग्मी परिवर्त मैट्रिक्स (Conjugate transpose matrix or tranjugate matrix)
• ऐकिक मैट्रिक्स (Unitary matrix)
• हर्मिटी तथा विषम हर्मिटी मैट्रिक्स (Hermitian and skew-Hermitian matrices)
• मैट्रिक्स की उप मैट्रिक्स (Sub matrx of a matrix)
• किसी वर्ग मैट्रिक्स का सारणिक (Determinant of a square matrix)
• सारणिक के गुणधर्म (Properties of determinant)
• अव्युत्क्रमणीय तथा व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स (Singular and non-singular matrix)
• सहखण्डज मैट्रिक्स (Adjoint or adjugate matrix)
• प्रतिलोम या व्युत्क्रम मैट्रिक्स (Inverse of a matrix)
• प्रतिलोम मैट्रिक्स ज्ञात करने की सहखण्डज विधि (Adjoint method for finding the inverse of a matrix)
• प्रतिलोम मैट्रिक्स ज्ञात करने की प्रारम्भिक रूपान्तरण विधि (Elementary transformation method for finding the inverse of a matrix)
• सदिश (Vector)
• रैखिक संचय (Linear combination)
• रैखिक स्वतन्त्र तथा रैखिक परतन्त्र सदिश (Linear independent and linear dependent vector)
• मैट्रिक्स की रैंक या जाति (Rank of a matrix)
• मैट्रिक्स की स्तम्भ तथा पंक्ति रैंक या मैट्रिक्स की स्तम्भ तथा पंक्ति जाति (Column rank and row rank of a matrix)
• मैट्रिक्स की रिक्तता (Nullity of a matrix)
• तुल्य मैट्रिक्स (Equivalent matrix)
• मैट्रिक्स का अभिलम्ब या कैनोनिकल रूप (Normal or canonical form of a matrix)

रैखिक समीकरण, आइगन मान तथा आइगन सदिश (Linear Equations, Eigen Values and Eigen Vectors)

• परिचय (Introduction)
• समघात रैखिक समीकरण निकाय तथा उसका हल (System of homogeneous linear equation and their solution)
• असमघात रैखिक समीकरण निकाय तथा उसका हल (System of non-homogeneous linear equations and their solution)
क्रेमर नियम (Cramer’s rule), व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि (Inverse matrix method), प्रारम्भिक रूपान्तरण विधि (Elementary transformation method)
• संगतता की शर्त (Condition of consistency)
• असमघात रैखिक समीकरण निकाय का हल ज्ञात करने की कार्यविधि (Working method for finding the solution of system of non-homogeneous linear equations)
• मैट्रिक्स का त्रिभुजाकार या एसलन रूप (Triangular or echelon form of a matrix)
• मैट्रिक्स की अभिलाक्षणिक समीकरण (Characteristics equation of a matrix)
• केली-हेमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton theorem)
• केली-हेमिल्टन प्रमेय का अनुप्रयोग (Application of Cayley-Hamilton’s theorem)
• आइगन मान तथा आइगन सदिश (Eigen values and eigen vectors)
• किसी अभिलाक्षणिक समीकरण के आइगन मानों के गुणधर्म (Properties of eigen values of any characteristic equation)
• कुछ विशेष प्रकार की मैट्रिक्सों के अभिलाक्षणिक मूलों या आइगन मानों की प्रकृति (Nature of characteristic root or eigen values of some special type of matrices)

समीकरण सिद्धान्त (Theory of Equations)

• परिचय (Introduction)
• परिमेय पूर्णांक फलन या बहुपद (Rational integral function or polynomials)
• समीकरण (Equation)
• समीकरण के मूल (Roots of an equation)
• सर्वसमिका (Identity)
• समीकरणों के गुणधर्म (Properties of equation)
• समीकरण के मूलों तथा गुणांकों में सम्बन्ध (Relation between roots and coefficients of equation)
• मूलों एवं गुणांकों के सम्बन्धों के प्रयोग से समीकरण को हल करना (Solution of equation using relations of roots and coefficients)
• मूलों के सममित फलन (Symmetric function of the roots)
• समीकरणों का रूपान्तरण (Transformation of equations)
समीकरण जिसके मूल दिए गए समीकरण के मूलों के k गुना हों (Equation whose roots are k times the roots of a given equation), समीकरण जिसके मूलों के चिन्ह दी गई समीकरण के मूलों के चिन्ह के विपरीत हैं (Equation whose roots are oppositely signed of a given equation), समीकरण जिसके मूल दी गई समीकरण के मूलों के व्युत्क्रम हैं (Equation whose roots are the reciprocals of the roots of a given equation)
• व्युत्क्रम समीकरण (Reciprocal equation)
• संश्लेषित विभाजन (Synthesis division)
किसी संख्या से मूलों को कम करना (To diminish the roots by a given number) 

 किसी समीकरण के विशेष पद को विलोपित करना (To remove a particular terms of an equation)

त्रिघात एवं चतुर्घात समीकरण (Cubic and Biquadratic Equations)

• परिचय (Introduction)
• डेसकार्टे का चिन्ह नियम (Descarte’s rule of sign)
• कार्डन विधि द्वारा त्रिघात समीकरणों का हल (Solution of cubic equation by Cardon’s method)
• कार्डन विधि द्वारा सामान्य त्रिघात समीकरणों का हल (Solution of general cubic equation by Cardon’s methods)
• त्रिघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति (Nature of the roots of cubic equations)
• फैरारी विधि द्वारा चतुर्घात समीकरणों का हल (Solution of biquadratic equation by Ferrari’s method)
• न्यूटन की सन्निकटन विधि (Newton’s method of approximation)
• हॉर्नर विधि (Horner’s method)

समूह (Group)

• परिचय (Introduction)
• कार्तीय गुणन (Cartesian product)
• बीजीय निकाय (Algebraic structure)
• द्विआधारी संक्रिया (Binary operation)
• समूह (Group)
• परिमित और अपरिमित समूह (Finite and infinite group)
• समूहाभ या कल्प समूह (Groupoid or quasi group)
• सेमि समूह (Semi-group)
• मोनाएड (Monoid)
• क्रमविनिमेय या आबेली समूह (Commutative or abelian group)
• समूह की कोटि या समूहांक (Order of a group)
• मोड्यूलों संक्रिया (Modulo operation)
• समूह में अद्वितीयता गुण (Uniqueness property in group)
• समूह में प्रतिलोम के गुण (Properties of inverse in group)
• समूह में निरसन नियम (Cancellation law in group)
• वाम तथा दक्षिण तत्समक अवयव (Left and right identity element)
• वाम तथा दक्षिण प्रतिलोम (Left and right inverse)
• सेमि समूह पर आधारित प्रमेय (Theorems based on semi group)
• समूह के अवयव की पूर्णांक घात (Integral power of an element of group)
• समूह के अवयव की कोटि (Order of an element of a group)
• क्लाइन 4 समूह(Klein’s 4-group)
• समूह के अवयव की कोटि पर आधारित प्रमेय (Theorems based on order of element of a group)

उपसमूह (Subgroup)

• परिचय (Introduction)
• उपसमूह (Subgroup)
• उपसमूह के उदाहरण (Examples of subgroup)
• समूह के सम्मिश्रों का गुणन (Multiplication of complexes of a group)
• समूह के सम्मिश्र का प्रतिलोम (Inverse of a complex of a group)
• उपसमूह के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त (Necessary and sufficient condition for a subgroup)
• परिमित उपसमुच्चय के उपसमूह होने के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त (Necessary and sufficient condition for a finite subset to be a subgroup)
• उपसमूहों के संघ का उपसमूह होने की आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त (Necessary and sufficient condition for union to be a subgrop)
• सहसमुच्चय (Coset)
• लेग्रांज प्रमेय (Lagrange’s theorem)
• उपसमूह का सूचकांक (Index of subgroup)
• समूह का उपसमूह के सापेक्ष सर्वांगसमता सम्बन्ध (Relation of congruence modulo of a group with respect to a sugroup)
• ऑयलर ф-फलन (Euler’s ф function)
• ऑयलर ф-फलन के गुणधर्म (Properties of Euler’s ф function)
• ऑयलर प्रमेय (Euler’s theorem)
• फर्मेट प्रमेय (Fermat’s theorem)

चक्रीय समूह (Cyclic Group)

• परिचय (Introduction)
• चक्रीय समूह (Cyclic group)
• चक्रीय समूह पर आधारित प्रमेय (Theorems based on cyclic group)

प्रसामान्य उपसमूह तथा विभाग समूह (Normal Subgroup and Quotient Group)

• परिचय (Introduction)
• प्रसामान्य उपसमूह (Normal subgroup)
• सरल समूह (Simple group)
• प्रसामान्य उपसमूह पर आधारित प्रमेय (Theorem based on normal subgroup)
• विभाग समूह (Quotient group)
• क्रमविनिमेय उपसमूह (Commutator subgroup)

क्रमचय समूह (Permutation Group)

• परिचय (Introduction)
• क्रमचय (Permutation)
• तुल्य या समान क्रमचय (Equivalent or equal permutation)
• तत्समक क्रमचय (Identity permutation)
• क्रमचय गुणन (Product of permutation)
• प्रतिलोम क्रमचय (Inverse permutation)
• क्रमचय समूह (Permutation group)
• सममित समूह (Symmetric group)
• चक्रीय क्रमचय या चक्र तथा चक्रीय क्रमचय की लम्बाई (Cyclic permutation or cycles and the length of cyclic permutation)
• चक्र का प्रतिलोम (Inverse of cycle)
• चक्र की कोटि (Order of a cycle)
• असंयुक्त चक्र (Disjoint cycles)
• क्रमचय की कोटि (Order of permutation)
• पक्षान्तरण (Transposition)
• सम तथा विषम क्रमचय (Even and odd permutation)

समूह समाकारिता (Group Homomorphism)

• परिचय (Introduction)
• समाकारिता (Homomorphism)
• समाकारिता के प्रकार (Types of homomorphism)
एकैकी समाकारिता (Monomorphism), आच्छादक समाकारिता (Epimorphism), तुल्यकारिता (Isomorphism), अन्तराकारिता (Endomorphism), स्वकारिता (Automorphism)
• समाकारिता की अष्टि (Kernel of homomorphism)
• समाकारिता पर आधारित प्रमेय (Theorem based on homomorphism)
• प्राकृत समाकारिता (Natural homomorphism)
• समाकारिता की मूलभूत प्रमेय (Fundamental theorem of homomorphism)
• तुल्यकारिता की तीन प्रमेय (Three theorems on isomorphism)
• केली प्रमेय (Cayley’s theorem)
• अंतः स्वकारिता (Inner automorphism)

समूह का केन्द्र, प्रसामान्यकृत तथा वर्ग समीकरण (Centre of group, Normalizer and Class equation)

• परिचय (Introduction)
• संयुग्मी अवयव (Conjugate elements)
• संयुग्मी वर्ग (Conjugate class)
• स्वं-संयुग्मी अवयव (Self-conjugate element)
• अवयव का प्रसामान्यकृत (Normalizer of an element)
• समूह का केन्द्र (Centre of group)