बोस आइन्सटीन सांख्यिकी
- यह सांख्यिकी बोसाॅन या बोस कणों पर आरोपित की जा सकती है, अर्थात् वे कण जो अविभेदित हों तथा जिनकी चक्रण क्वांटन संख्या पूर्णांक हो।
- कण एक दूसरे से अविभेदित होते हैं।
- iवे क्वांटम स्तर के प्रत्येक कोश में कणों की संख्या 0, 1, 2, 3, … ni हो सकती है।
- निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, अर्थात् , n = Σni = नियत
- विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है, अर्थात् E = Σniεi = नियत
- हम n स्वतंत्र समरूप कणों पर विचार करते हैं।
- इन कणों को क्वांटम समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि
- ऊर्जा स्तर ε1, ε2, ε3, …εi
- अपभ्रष्टता g1, g2, g3, …gi
- कणों की संख्या n1, n2, n3, …ni
- हम एक बक्से पर विचार करते हैं। इस बक्से में gi भाग हैं, जिसमें कणों को वितरित करना है।
- इन भागों या उपकोश के चयन के कुल तरीकों की संख्या gi होगी।
- इसके पश्चात् शेष (gi – 1) भागों तथा ni कणों अर्थात् कुल (ni + gi – 1) को व्यवस्थित करने के कुल तरीके = (ni + gi – 1)!
- अतः वितरण के कुल तरीके = gi (ni + gi – 1)!
- कण एक दूसरे से अविभेदित हैं।
- कणों के आपस में एक दूसरे से बदलने पर कोई भी नया ऊर्जा स्तर प्राप्त नहीं होता है।
- अतः अभीष्ट वितरणों की संख्या
- अतः कुल तरीके जिसमें ε1 ऊर्जा स्तर में n1, ε2 ऊर्जा स्तर में n2, ….. हों
- आइगन अवस्थाओं की पूर्व प्रायिक अवधारणा के अनुसार
स्टर्लिंग सन्निकट के अनुसार. log x ! = x log x − x
or log ω = Σ { (ni + gi) log (ni + gi) − (ni + gi) − ni log ni + ni − gi log gi +gi} + log k
or log ω = Σ { (ni + gi) log (ni + gi) − ni log ni − gi log gi} + log k
or δ log ω = Σ [(ni + gi) {1/(ni + gi)} δni + {log (ni + gi)} δni − ni (1/ni) δni −(log ni) δni]
or δ log ω = Σ [log (ni + gi) −(log ni)] δni
or δ log ω = − Σ [log {ni /(ni + gi)}] δni
- अधिकतम प्रायिकता के लिए
δ log ω = 0
∴ Σ [log {ni /(ni + gi)}] δni = 0 …(1)
अन्य शर्तें हैं
n = Σ ni = constant
or δn = Σ δni = 0 …(2)
तथा E = Σ ni εi = constant
or δE = Σ εiδni = 0 …(3)
- लैगरांज की अनिर्धारित गुणक की विधि से, (1) + (2) × α + (3) × β
Σ [log {ni /(ni + gi)} + α + βεi ] δni = 0
- परन्तु δni स्वैच्छ है।
∴ log {ni /(ni + gi)} + α + βεi = 0
or log {1 + (gi / ni )} = α + βεi
or 1 + (gi / ni ) = exp (α + βεi )
or (gi / ni ) = exp (α + βεi ) − 1
or ni = gi / [exp (α + βεi ) − 1]
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