कलन (Calculus)

अवकलन, समाकलन तथा अवकल समीकरण (Differential Calculus, Integral Calculus and Differential Equation)

This book includes the following topics

पदिक समीकरण एवं चाप की लम्बाई के अवकलज (Pedal Equations and Derivative of the Length of an Arc)

• ध्रुवीय निर्देशांक (Polar co-ordinates)
• कार्तीय एवं ध्रुवीय निर्देशांकों में सम्बन्ध (Relation between cartesian and polar co-ordinates)
• त्रिज्य सदिश एवं स्पर्श रेखा के मध्य कोण (Angle between radius vector and tangent)
• दो ध्रुवीय वक्रों का प्रतिच्छेन कोण (Angle of intersection of two polar curves)
• ध्रुवीय स्पर्शी, अधःस्पर्शी, लम्ब एवं अधोलम्ब तथा उनकी लम्बाईयां (Polar tangent, subtangent, normal, subnormal and their lengths)
• ध्रुव से स्पर्श रेखा पर लम्ब तथा उसकी लम्बाई (Perpendicular from pole to tangent and its length)
• पदिक समीकरण (Pedal equation)
• चाप की लम्बाई के अवकलन गुणाक (Differential coefficient of length of the arc)

जब वक्र का समीकरण कार्तीय रूप (x, y) में दिया गया है [When the equation of curve is in cartesian form (x, y)],  जब वक्र का समीकरण ध्रुवीय रूप (r, ፀ) में दिया गया हो [When the equation of curve is in polar form (r, ፀ)]

• अन्य सूत्र (Other formula)

माध्यमान प्रमेय (Mean Value Theorem)

• परिचय (Introduction)
• रोल प्रमेय (Rolle’s Theorem)
• रोल प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या (Geometrical interpretation of Rolle’s theorem)
• रोल प्रमेय की बीजीय व्याख्या (Algebraic interpretation of Rolle’s theorem)
• रोल प्रमेय का अन्य रूप (Another form of Rolle’s theorem)
• लाग्रांज का माध्यमान प्रमेय (Lagrange’s mean value theorem)
• लाग्रांज माध्यमान प्रमेय का अन्य रूप (Another form of Lagrange’s mean value theorem)
• लाग्रांज माध्यमान प्रमेय की ज्यामितीय व्याख्या (Geometrical interpretation of Lagrange’s mean value theorem)
• लाग्रांज के माध्यमान प्रमेय से कुछ महत्वपूर्ण निगमन (Some important deduction from Lagrange’s mean value theorem)
• कॉशी का माध्यमान प्रमेय या प्रथम माध्यमान प्रमेय (Cauchy’s mean value theorem or first mean value theorem)
• कॉशी माध्यमान प्रमेय का अन्य उपयोगी रूप (Another useful form of Cauchy’s mean value theorem)
• व्यापक माध्यमान प्रमेय (General mean value theorem)
• द्वितीय माध्यमान प्रमेय (Second mean value theorem)
• व्यापीकृत माध्यमान प्रमेय या लाग्रांज रूप का शेषफल वाला टेलर प्रमेय (Generalised mean value theorem or Taylor’s theorem with Lagrange’s form of remainder)
• कॉशी रूप का शेषफल वाला टेलर प्रमेय (Taylor’s theorem with Cauchy’s form of remainder)
• शेकलोमिच एवं रोशे का शेषफल वाला टेलर प्रमेय (Taylor’s theorem with Schlömilch and Roche form of remainder)
• शेकलोमिच एवं रोशे का शेषफल वाला मेक्लॉरिन प्रमेय (Maclaurin’s theorem with Schlömilch and Roche form of remainder)
• घात श्रेणी (Power series)
• टेलर श्रेणी (Taylor series)
• मेक्लॉरिन श्रेणी (Maclaurin’s series)
• कुछ उपयोगी आधारभूत फलनों का घात श्रेणी प्रसार (Power series expansion of some useful basic functions)

अनन्तस्पर्शी (Asymptotes)

• परिचय (Introduction)
• अनन्तस्पर्शी (Asymptote)
• अनन्तस्पर्शी के लिए प्रतिबन्ध (Condition for asymptote)
• वक्र की व्यापक बीजीय रूप की अनन्तस्पर्शियां (Asymptotes of general algebraic form of the curve)
• वक्र की अनन्तस्पर्शियों की संख्या (Number of asymptotes of a curve)
• निर्देशी अक्षों के समान्तर अनन्तस्पर्शियां (Asymptotes parallel to the direction axes)
• अनन्तस्पर्शी ज्ञात करने की वैकल्पिक विधियां (Alternative method for finding asymptotes)
• वक्र तथा उसकी अनन्तस्पर्शियों के प्रतिच्छेदन (Intersection of curve and its asymptotes)
• वक्र की अनन्तस्पर्शी के सापेक्ष स्थिति (Position of curve with respect to asymptote)

वक्रता (Curvatures)

• परिचय (Introduction)
• कुछ महत्त्वपूर्ण परिभाषाएँ (Some important definitions)
• वक्रता त्रिज्या के लिए सूत्र (A formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या का कार्तीय सूत्र (Cartesian formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या का प्राचलिक सूत्र (Parametric formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या का ध्रुवीय सूत्र (Polar formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या का पदिक सूत्र (Pedal formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या का स्पर्श रेखीय ध्रुवी सूत्र (Tangential polar formula for radius of curvature)
• वक्रता त्रिज्या के विविध सूत्र (Miscellaneous formula for radius of curvature)
• वक्रता केन्द्र के निर्देशांक (Coordinate of centre of curvature)
• वक्रता जीवा की लम्बाईयाँ (Length of chord of curvatures)

वक्र अनुरेखण (Curve Tracing)

• परिचय (Introduction)
• अवतलता एवं उत्तलता (Concavity and convexity)
• निर्देशी अक्षों के सापेक्ष अवतलता या उत्तलता का परिक्षण (Test of concavity or convexity with respect to coordinate axes)
• नति परिवर्तन बिन्दु (Point of inflexion)
• तरंगण बिन्दु (Point of undulation)
• विचित्र बिन्दु (Singular points)
• बहुल बिन्दु (Multiple points)
• द्विक बिन्दु के प्रकार (Types of double points)
• उभयाग्र के प्रकार (Types of cusp)
• उभयाग्र की जाति (Species of cusp)
• द्विक बिन्दुओं के अस्तित्व के लिए आवश्यक प्रतिबंध (Necessary condition for the existence of double point)
• वक्र अनुरेखण (Curve tracing)
• कार्तीय वक्र के अनुरेखण की प्रक्रिया (Working method for tracing of cartesian curve)
• ध्रुवीय वक्र के अनुरेखण की प्रक्रिया (Working method for tracing of polar curves)
• प्राचलिक वक्र के अनुरेखण की प्रक्रिया (Working method for tracing of parametric curve)

बीटा तथा गामा फलन (Beta and Gamma Function)

• बीटा फलन (Beta function)
• बीटा फलन के गुणधर्म (Properties of beta function)
• गामा फलन (Gamma function)
• गामा फलन का पुनरावृत्ति सूत्र (Recurrence formula of gamma function)
• बीटा तथा गामा फलनों में सम्बन्ध (Relation between beta and gamma functions)
• गामा सूत्र (Gamma formula)
• द्विगुणन सूत्र (Duplication formula)
• गामा फलन के गुणधर्म (Properties of gamma function)

क्षेत्रकलन (Quadrature)

• परिचय (Introduction)
• कार्तीय वक्र एवं निर्देर्शी अक्षों से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area bounded by cartesian curve and direction axes)
• दो कार्तीय वक्रों का उभयनिष्ठ क्षेत्रफल (Common area of two cartesian curve)
• द्वि-समाकल से क्षेत्रफल तथा द्रव्यमान (Area and mass by double integration)
• ध्रुवीय वक्र एवं त्रिज्य सदिश (ध्रुवान्तर रेखाओं) से परिबद्ध क्षेत्रफल (Area bounded by polar curves and radius vectors)
• बन्द वक्र का क्षेत्रफल (Area of closed curve)

चापकलन (Rectification)

• परिचय (Introduction)
• वक्रों के विभिन्न रूपों में चाप की लम्बाई (Length of arc of different form of curves)
• वक्र का नैज समीकरण (Intrinsic equation of a curve)
• वक्र का नैज समीकरण ज्ञात करना (To find the intrinsic equation of curve)
• केन्द्रज के चाप की लम्बाई (Length of arc of an evolute)

प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order & First Degree)

• अवकल समीकरण (Differential equation)
• साधारण तथा आंशिक अवकलन समीकरण (Ordinary and partial differential equations)
• अवकल समीकरण की कोटि तथा घात (Order and degree of a differential equation)
• अवकल समीकरण का हल (Solution of differential equation)
• प्रथम कोटि और प्रथम घात के समीकरण (Equation of the first order and first degree)
• समीकरण जिनमें चर पृथक किए जा सकें (Equations in which variables are separable)
• समघात अवकल समीकरण (Homogeneous differential equation)
• समघात समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equations reducible to a homogeneous equation)
• रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equation)
• बरनौली के अवकल समीकरण का रैखिक रूप में समानयन (Bernoulli’s differential equation reducible to the linear form)
• यथार्थ अवकल समीकरण (Exact differential equation)
• यथार्थ अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात करने की विधि (Method of finding out the general solution of an exact differential equation)
• यथार्थ अवकल समीकरण में समानयन वाले समीकरण (Equation reducible to an exact differential equation)
• समाकलन गुणांक ज्ञात करने की विधियाँ (Methods of finding out the integrating factors)

निरीक्षण द्वारा (By inspection)
समाकलन गुणांक ज्ञात करने के नियम (Rules of finding the integrating factors)

प्रथम कोटि तथा उच्च घातों के अवकल समीकरण (Differential Equations of First Order & Higher Degree)

• परिचय (Introduction)
• p के लिए हल होने योग्य समीकरण (Equation solvable for p)
• y के लिए हल होने योग्य समीकरण (Equation solvable for y)
• लाग्रांज समीकरण (Lagrange’s equation)
• x के लिए हल होने योग्य समीकरण (Equation solvable for x)
• क्लोरेट समीकरण (Clairaut’s equation)
• विचित्र हल (Singular solutions)

विचित्र हल का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical meaning of singular solutions)
व्यापक स्थिति में विचित्र हल निकालने की विधि (Method of finding singular solutions in general case)

• बाह्य बिन्दुपथ तथा इसके प्रकार (Extraneous loci and its type)
• विचित्र हल तथा बाह्य बिन्दुपथ ज्ञात करने की विधि (Procedure of finding the singular solutions and extraneous loci)

अवकल समीकरण का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning of Differential Equation)

• परिचय (Introduction)
• अवकल समीकरण का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical meaning of differential equation)
• वक्र-कुल (Family of curves)
• वक्र-कुल का समीकरण (Equation of family of curve)
• प्रक्षेप-पथ (Trajectories)

लाम्बिक या लम्बकोणीय प्रक्षेप पथ (Orthogonal trajectory)
स्वलाम्बिक वक्र-कुल (Self orthogonal family of curves)

• वक्र-कुल के लाम्बिक प्रक्षेप पथ का समीकरण (Equation of orthogonal trajectory of a family of curves)
• लाम्बिक प्रक्षेप पथ के अनुप्रयोग (Applications of orthogonal trajectories)

अचर गुणांक वाली रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations with Constant Coefficient)

• परिचय (Introduction)
• रैखिक अवकल समीकरण का व्यापक रूप (General form of linear differential equation)
• अवकल संकारक (Differential operator)
• प्रतिलोम संकारक (Inverse operator)
• समघाती तथा विषमघातीय रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous and non-homogeneous linear differential equation)
• पूरक फलन एवं विशेष समाकल (Complementary function and particular integral)
• पूरक फलन ज्ञात करने की विधियाँ (Method of finding complementary function)

जब सहायक समीकरण के सभी मूल असमान हों (When all roots of auxiliary equations are different)
जब सहायक समीकरण के मूल समान हों (When roots of auxiliary equation are same)
जब सहायक समीकरण के मूल सम्मिश्र हों (When the roots of auxiliary equation are complex)
जब सहायक समीकरण के मूल सम्मिश्र तथा समान हों (When the roots of auxiliary equation are complex and same)
जब सहायक समीकरण के मूल युग्म रूप में हों (When the roots of auxiliary equation are surd roots)
जब सहायक समीकरण के मूल युग्म रूप में तथा समान हों (When the roots of auxiliary equation are surd and equal)

• विशेष समाकल ज्ञात करने की व्यापक विधि (General method for finding particular integral)
• विशेष समाकल ज्ञात करने की लघु विधियाँ (Short method for finding particular integral)
• विशेष समाकल की लघु विधि जब Q = e^ax हो (Short method for finding P.I., when Q = e^ax)
• विशेष समाकल की लघु विधि, जब Q = sin ax या cos ax हो (Short method for finding P.I., when Q = sin ax or cos ax)
• विशेष समाकल की लघु विधि, जब Q = xⁿ हो (Short method for P.I., when Q = xⁿ)
• विशेष समाकल की लघु विधि, जब Q = e^ax.v हो, जहां v, x का कोई फलन हो (Short method of P.I., when Q = e^ax.v, where v is any function of x)
• विशेष समाकल की लघु विधि, जब Q = x.v हो, जहां v, x का कोई फलन हो (Short method of P.I., when Q = x.v, where v is any function of x)

समघातीय रैखिक अवकल समीकरण (Homogeneous Linear Differential Equation)

• परिचय (Introduction)
• समघातीय रैखिक अवकल समीकरण को हल करने की विधि (Method for solving homogeneous linear differential equation)
• पूरक फलन ज्ञात करने की विधियाँ (Methods for finding the complementary function)
• समघातीय रैखिक अवकल समीकरण ज्ञात करने की वैकल्पिक विधि (Alternative method of finding homogeneous linear differential equations)
• समघात रैखिक रूप में बदले जाने वाले अवकल समीकरण (Differential equations reducible to homogeneous linear form)