फर्मी डिराक सांख्यिकी

• यह सांख्यिकी फर्मीऑन या फर्मी कणों पर आरोपित की जाती है, अर्थात् वे कण जो अविभेदित हों तथा जिनकी चक्रण क्वांटन संख्या अर्द्ध पूर्णांक हो।
• कण एक दूसरे से अविभेदित होते हैं।
• प्रत्येक कोश या उपस्तर में 0 या 1 कण हो सकता है, अर्थात्‌, g_i,  >> n_i
• निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, n = Σn_i  = नियत
• विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है, E = Σn_iε_i  = नियत

• हम n स्वतंत्र समरूप कण, जिनका चक्रण अर्द्ध पूर्णांक है, पर विचार करते हैं।
• इन कणों को क्वांटम समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि
• ऊर्जा स्तर            ε_1, ε_2, ε_{3, …}ε_i 
• अपभ्रष्टता            g_1, g_2, g_{3, …}g_i 
• कणों की संख्या   n_1, n_2, n_{3, …}n_i 

• हम एक बक्से पर विचार करते है। इस बक्से में g_i  भाग हैं, जिसमें n_i  कणों को वितरित करना है।

• प्रथम कण को g_i  भाग में से किसी भी एक भाग में भरने के तरीके = g_i 
• अब बचे हुए (g_i  – 1) भागों में दूसरे कण को भरने के कुल तरीके = (g_i  – 1)

           …     …     …     …     …     …

• n_i कणों को g_i अवस्थाओं में वितरित करने के कुल तरीके = g_i (g_i  – 1)  (g_i  – 2) … (g_i – n_i + 1)

• चूंकि कण एक दूसरे से अविभेदित हैं।
• अतः अभीष्ट वितरणों की संख्या

• सम्पूर्ण निकाय के लिए कुल आइगन अवस्थाओं की संख्या

• आइगन अवस्थाओं की पूर्व प्रायिक अवधारणा के अनुसार

• स्टर्लिंग सन्निकट के अनुसार, log x! = x log x – x

• अधिकतम प्रायिकता के लिए, δ log ω = 0

• अन्य शर्तें

           n = Σ n_i = नियत

or       δn = Σ δn_i = 0    …(2)

and    E = Σ n_i ε_i = नियत

or      δE = Σ ε_iδn_i = 0    …(3)

• लैग्रांज के अनिर्धारित गुणक की विधि से, (1) + (2) × α + (3) × β

           Σ [log {n_i /(g_i − n_i)} + α + βε_i ] δn_i = 0

• परन्तु δn_i स्वैच्छ है

∴      log {n_i /( g_i −n_i )} + α + βε_i = 0

or     log {(g_i / n_i ) − 1 } = α + βε_i

or      (g_i / n_i ) − 1 = exp (α + βε_i )

or      (g_i / n_i ) = exp (α + βε_i ) + 1

or      n_i = g_i / [exp (α + βε_i ) + 1]