ज्यामिति (Geometry)

द्विविमीय तथा त्रिविमीय ज्यामिति (2-Dimensional and 3-Dimensional Geometry)

This book includes the following topics

शांकव परिच्छेद (Conic Section)

• परिचय (Introduction)
• शांकव परिच्छेद का वर्णीकरण (Classification of conic section)

यदि समतल P शंकु के शीर्ष O से गुजरता है (If the plane P passes through the vertex O of the cone); यदि समतल P शंकु के शीर्ष O से नहीं गुजरता है (If the plane P does not pass through the vertex O of the cone)

• शांकव परिच्छेद (Conic section)
• शांकव परिच्छेद का सरल समीकरण (Simple equation of conic section)
• शांकव परिच्छेद का व्यापक समीकरण (General equation of conic section)
• शांकव परिच्छेदों का वर्गीकरण (Classification of conic sections)

जब नाभि नियता पर स्थित हो (When the focus lie on the directrix); जब नाभि नियता पर स्थित नहीं हो (When the focus does not lie on the directrix)

• शांकव के रूप में व्यापक द्विघात समीकरण (General equation of second degree as a conic)
• शांकव का केन्द्र (Centre of conic)
• केन्द्र को मूल बिन्दु मानकर शांकव का समीकरण (Equation of the conic referred to the centre as origin)
• अनन्तस्पर्शियां (Asymptotes)
• शांकव की प्रकृति (Nature of conic)
• केन्द्रीय शांकव के अक्षों की लम्बाईयां, इसका समीकरण तथा उत्केन्द्रता (The lengths and equations of the axes, and eccentricity of the central conic)
• केन्द्रीय शांकव की नाभियों के निर्देशांक, नियता के पाद, शीर्ष, नाभिलम्ब की लम्बाई तथा नियता का समीकरण (The coordinates of foci, feet of directrix, vertices, length of latus rectum and equation of directrix of the central conic)
• परवलय ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 का अनुरेखण (Tracing of the parabola ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0)
• शांकव ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 का अनुरेखण (Tracing of the conic ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0)

दीर्घवृत्त (Ellipse)

• परिचय (Introduction)
• दीर्घवृत्त का व्यापक समीकरण (General equation of ellipse)
• दीर्घवृत्त का मानक समीकरण (Standard equation of ellipse)
• दीर्घवृत्त की द्वितीय नाभि एवं नियता (Second focus and directrix of an ellipse)
• दीर्घवृत्त का नाभीय गुण (Focal property of an ellipse)
• नाभिलम्ब की लम्बाई (Length of latus rectum)
• दीर्घवृत्त की महत्वपूर्ण परिभाषाएं (Important definitions of ellipse)
• दीर्घवृत्त के मानक समीकरण का अनुरेखण (Tracing of standard equation of ellipse)
• दीर्घवृत्त के अन्य प्रकार (Other types of ellipse)
• दीर्घवृत्त का उत्केन्द्र कोण तथा प्राचलिक समीकरण (Eccentric angle and parametric equation of ellipse)
• दीर्घवृत्त पर स्थित दो बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा का समीकरण (Equation of chord of an ellipse joining two points)
• दीर्घवृत्त तथा स्पर्श रेखा का प्रतिच्छेदन (Intersection of an ellipse and line)

अन्तःखण्ड की लम्बाई (Length of intercept); स्पर्शता का प्रतिबंध (Condition of tangency)

• दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप (Different forms of the equation of a tangent of an ellipse)
• दीर्घवृत्त पर अभिलम्ब के समीकरण के विभिन्न रूप (Different forms of the equation of a normal of an ellipse)
• किसी बिन्दु P(a, b) से दीर्घवृत्त पर डाले गए अभिलम्बों की संख्या (Number of normals drawn on an ellipse from any point P(a, b))
• सहअभिलम्ब बिन्दुओं के उत्केन्द्र कोणों के योग गुणधर्म (Property of the sum of the eccentric angles of the co-normal points)
• दीर्घवृत्त की तीन अभिलम्बों का संगमन (Concurrency of three normals of an ellipse)
• चारों अभिलम्बों के पादों का बिन्दुपथ (Locus of four feets of normals)
• दीर्घवृत्त पर बाह्म बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएं (Tangents drawn from external point P(x1, y1) to the ellipse)
• स्पर्शी-युग्म का समीकरण (Equation of the pair of tangents)
• नियामक वृत्त तथा इसका समीकरण (Director circle and its equation)
• स्पर्श जीवा तथा इसका समीकरण (Chord of contact and its equation)
• ध्रुव तथा ध्रुवी (Pole and polar)
• ध्रुव तथा ध्रुवी के गुणधर्म (Properties of pole and polar)
• दीर्घवृत्त की जीवा का समीकरण जिसका मध्य बिन्दु ज्ञात है (Equation of the chord of an ellipse whoes mid point is known)
• दीर्घवृत्त का व्यास (Diameter of an ellipse)
• संयुग्मी व्यास (Conjugate diameter)
• संयुग्मी व्यास के गुणधर्म (Properties of conjugate diameter)

अतिपरवलय (Hyperbola)

• परिचय (Introduction)
• अतिपरवलय का व्यापक समीकरण (General equation of hyperbola)
• अतिपरवलय का मानक समीकरण (Standard equation of hyperbola)
• अतिपरवलय की द्वितीय नाभि एवं नियता (Second focus and directrix of a hyperbola)
• अतिपरवलय का नाभीय गुण (Focal property of a hyperbola)
• नाभिलम्ब की लम्बाई (Length of latus rectum)
• अतिपरवलय की महत्वपूर्ण परिभाषाएं (Important definitions of hyperbola)
• अतिपरवलय के मानक समीकरण का अनुरेखण (Tracing of standard equation of hyperbola)
• अतिपरवलय के अन्य प्रकार (Other types of hyperbola)
• अतिपरवलय के विशेष प्रकार (Special types of hyperbola)
• अतिपरवलय के प्राचलिक निर्देशांक एवं प्राचलिक समीकरण (Parametric coordinate and equation of a hyperbola)
• अतिपरवलय तथा दीर्घवृत्त का तुलनात्मक अध्ययन (Comparative study of hyperbola and ellipse)
• अनन्तस्पर्शी (Asymptote)
• अतिपरवलय की अनन्तस्पर्शियों का समीकरण (Equation of asymptotes of a hyporbola)
• अतिपरवलय x²/a² – y²/b² = 1 की अनन्तस्पर्शियों को निर्देशी अक्ष मानकर नए अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना (To find the equation of new hyperbola referred to asymptotes of hyperbola x²/a² – y²/b² = 1 as the axes of coordinate axes)
• अतिपरवलय xy = c² की स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब का समीकरण (Equation of tangent and normal of hyperbola xy = c²)
• अतिपरवलय एवं संयुग्मी अतिपरवलय के गुणधर्म (Properties of hyperbola and its conjugate hyperbola)

ध्रुवीय समीकरण (Polar Equation)

• परिचय (Introduction)
• एक बिन्दु के ध्रुवीय निर्देशांक (Polar coordinate of a point)
• दो बिन्दुओं के मध्य दूरी (Distance between two points)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a triangle)
• सरल रेखा का ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of a straight line)
• दो बिन्दुओं से गुजरने वाली ध्रुवीय रेखा का समीकरण (Polar equation of a line passing through two points)
• वृत्त का ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यापक समीकरण (General equation of a circle in polar coordinates)
• वृत्त की जीवा तथा स्पर्श रेखा का समीकरण (Equation of the chord and tangent of the circle)
• दो बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का समीकरण (Equation of a circle referred to a diameter of a line joining two points)
• शांकव का ध्रुवीय समीकरण, जब ध्रुव शांकव की नाभी पर हो (Polar equation of a conic, when pole lies on the focus)
• नियता की ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of directrix)
• नाभीय जीवा या नाभीय गुण (Focal chord or focal property)
• सहायक वृत्त (Auxiliary circle)
• शांकव पर दो बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा का ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of chord joining two points on a conic)
• शांकव के किसी बिन्दु पर स्पर्श रेखा का ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of the tangent at any point of a conic)
• नियामक वृत्त (Director circle)
• शांकव (अतिपरवलय) की अनन्तस्पर्शी का समीकरण (Equation of the asymptotes of the conic or hyperbola)
• लम्बवत् रेखाओं के ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of perpendicular lines)
• शांकव के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब का ध्रुवीय समीकरण (Polar equation of the normal at any point of a conic)
• शांकव की स्पर्श जीवा (Chord of contact of a conic)
• शांकव की ध्रुवी (Polar of a conic)

समतल (Plane)

• परिचय (Introduction)
• समतल का व्यापक समीकरण (General equation of plane)
• एक बिन्दु से गुजरने वाले समतल का समीकरण (Equation of plane passing through a point)
• तीन बिन्दुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण (Equation of plane passing through three points)
• अभिलम्ब रूप में समतल का समीकरण (Equation of the plane in the normal form)
• अन्तःखण्ड रूप में समतल का समीकरण (Equation of a plane in the intercept form)
• समतल के व्यापक समीकरण का अभिलम्ब एवं अन्तःखण्ड रूप में समानयन (Reduction of the general equation of a plane to the normal form and intercept form)
• दो समतलों के मध्य कोण (Angle between two planes)
• किसी दिए समतल के समान्तर समतल का समीकरण (Equation of the plane parallel to a given plane)
• दो समतलों के प्रतिच्छेद से गुजरने वाले समतल की समीकरण (Equation of plane through the intersection of two planes)
• समतल की दो भुजाएँ (Two sides of a plane)
• किसी बिन्दु की समतल से लम्बवत् दूरी (Length of perpendicular from a point on the plane)
• दो समतलों के मध्य के कोणों के अर्द्धक समतल का समीकरण (Equation of plane bisecting the angles between two planes)
• द्वितीय घात के व्यापक समघात समीकरण द्वारा दो समतलों को निरूपित करने का प्रतिबंध (Condition for the homogeneous equation of second degree to represent two planes)
• समघात समीकरण द्वारा निरूपित समतलों के मध्य का कोण (Angle between the planes represented by homogeneous equation)
• प्रक्षेप का क्षेत्रफल व आयतन (Area and volume of projection)
• त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of triangle)
• चतुष्फलक का आयतन (Volume of tetrahedron)

सरल रेखा (Straight line)

• परिचय (Introduction)
• निर्देशी अक्षों के समीकरण (Equation of co-ordinate axes)
• सममित रूप में रेखा का समीकरण (Equation of a line in symmetrical form)
• व्यापक समीकरण का सममित रूप में समानयन (Reduction of general equations into symmetric form)
• किसी बिन्दु की एक सरल रेखा से लम्बवत् दूरी (Perpendicular distance of a point from a straight line)
• एक रेखा और समतल के बीच का कोण (Angle between a line and a plane)
• किसी रेखा के एक समतल में विद्यमान होने का प्रतिबन्ध (Condition for a line to lie in a plane)
• एक रेखा से गुजरने वाले किसी समतल का समीकरण (Equation of the plane containing a given line)
• दो रेखाओं को काटने वाली सरल रेखा के समीकरण (Equations of a line intersecting two lines)
• विषमतलीय रेखाएँ (Skew lines)
• तीन समतलों का प्रतिच्छेदन (Intersection of three planes)

गोला (Sphere)

• परिचय (Introduction)
• गोले का समीकरण (Equation of sphere)
• गोले का व्यापक समीकरण (General equation of a sphere)
• व्यापक रूप में केन्द्र व त्रिज्या (Centre and radius in general form)
• गोले के समीकरण के अभिलक्षण (Characteristics of equation of sphere)
• व्यास रूप में गोले का समीकरण (Diameter form of sphere)
• चार बिन्दुओं से गुजरने वाले गोले का समीकरण (Equation of sphere passing through four points)
• गोले का समतलीय प्रतिच्छेद (Plane section of a sphere)
• वृत्त का समीकरण (Equation of circle)
• वृत्त से गुजरने वाले गोले के समीकरण (Equation of sphere passing through a given circle)
• गोले की स्पर्श रेखा एवं स्पर्श समतल (Tangent line and tangent plane of a sphere)
• समतल तथा गोले की स्पर्शता की शर्त (Condition of tangency of a plane and sphere)
• गोले के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent plane of sphere)
• दो गोलों का प्रतिच्छेद कोण (Angle of intersecion of two sphere)
• दो गोलों की लाम्बिकता की शर्त (Condition of orthogonality of two spheres)
• स्पर्शी गोले (Touching spheres)
• ध्रुवीय समतल (Polar plane)
• समतल का ध्रुव (Pole of plane)
• ध्रुवीय रेखा (Polar line)
• स्पर्श रेखा की लम्बाई (Length of tangent)
• बिन्दु की शक्ति (Power of point)
• दो गोलों का मूल समतल (Radical plane of two spheres)
• तीन गोलों की मूल अक्ष या मूल रेखा (Radical axis or radical line of three spheres)
• चार गोलों का मूलाक्ष केन्द्र (Radical centre of four spheres)
• समाक्ष गोलों का निकाय (System of co-axial spheres)
• समाक्ष गोलों का सरलतम रूप (Simplest form of co-axial spheres)
• समाक्ष निकाय के सीमान्त बिन्दु (Limiting point of a co-axial system)

शंकु (Cone)

• परिचय (Introduction)
• शंकु (Cone)
• दिए गए शीर्ष तथा निर्देशक वक्र के लिए शंकु का समीकरण (Equation of the cone with given vertex and guiding curve)
• शंकु का समीकरण, जब शीर्ष मूल बिन्दु हो (Equation of a cone with vertex at origin)
• अन्वालोपी शंकु तथा गोले के अन्वालोपी शंकु का समीकरण (Enveloping cone and equation of enveloping cone of sphere)
• रेखा तथा शंकु का प्रतिच्छेदन (Intersection of a line and a cone)
• शंकु के स्पर्श समतल का समीकरण (Equation of tangent plane to a cone)
• शंकु तथा समतल के स्पर्शता की शर्त (Condition of tangeney of a cone and a plane)
• व्युत्क्रम शंकु (Reciprocal cone)
• समतल द्वारा शंकु को काटने पर प्राप्त रेखाओं के मध्य कोण (Angle between the lines in which a plane cuts a cone)
• शंकु के तीन परस्पर लम्बवत् जनक होने की शर्त (Condition for three mutually perpendicular generators of a cone)
• व्यापक द्विघात समीकरण द्वारा एक शंकु को प्रदर्शित करने की शर्त (Condition for the general equation of second degree to represent a cone)
• लम्बवृत्तीय शंकु (Right circular cone)
• लम्बवृत्तीय शंकु का समीकरण (Equation of right circular cone)

बेलन (Cylinder)

• परिचय (Introduction)
• बेलन (Cylinder)
• बेलन का समीकरण (Equation of cylinder)
• अन्वालोपी बेलन तथा इसका समीकरण (Enveloping cylinder and its equation)
• लम्बवृत्तीय बेलन (Right circular cylinder)
• लम्बवृत्तीय बेलन का समीकरण (Equation of a right circular cylinder)

शांकवज (Conicoids)

• परिचय (Introduction)
• द्वितीय घात की व्यापक समीकरण (General equation of second degree)
• व्यापक द्विघात समीकरण का रूपान्तरण तथा शांकवजों का वर्गीकरण (Transformation of general quadratic equation and classification of conicoid)
• केन्द्रीय शांकवज तथा उनका वर्गीकरण (Central conicoid and their classification)
• दीर्घवृत्तज की प्रकृति तथा आकार (Nature and shape of ellipsoid)
• एकपृष्ठी अतिपरवलयज की प्रकृति एवं आकार (Nature and shape of hyperboloid of one sheet)
• द्विपृष्ठी अतिपरवलयज की प्रकृति एवं आकार (Nature and shape of two sheets hyperboloid)
• सरल रेखा तथा केन्द्रीय शांकवज का प्रतिच्छेदन (Intersection of a line and a central conicoid)
• स्पर्श रेखाएँ तथा स्पर्श तल (Tangent lines and tangent planes)
• स्पर्शता की शर्त (Condition of tangency)
• नियामक गोला तथा इसका समीकरण (Director sphere and its equation)
• दिए गए केन्द्र वाला समतल परिच्छेद (Plane section with a given centre)
• केन्द्रीय शांकवज की जीवा निकाय के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ जो किसी रेखा के समान्तर हों (The locus of the middle points of a system of chords of central conicoid parallel to a given line)
• व्यासीय समतल तथा इसकी समीकरण (Diametral plane and its equation)
• कुछ परिभाषाएँ (Some definitions)

संयुग्मी अर्द्धव्यास (Conjugate semi-diameters); संयुग्मीय व्यासीय समतल (Conjugate diameteral plane); संयुग्मीय व्यास (Conjugate diameters); मुख्य समतल (Principal plane); मुख्य अक्ष (Principal axes); मुख्य दिशा (Principal direction)

• दीर्घवृत्तज के संयुग्मी अर्द्धव्यास तथा संयुग्मी व्यासीय तल के समीकरण (Equation of conjugate semi diameters and conjugate diameteral plane of the ellipsoid)
• संयुग्मी अर्द्धव्यासों की विशेषताएँ (Properties of conjugate semi-diameters)