मैक्सवेल बोल्ट्जमान सांख्यिकी

• यह सांख्यिकी उन कणों पर आरोपित की जाती है, जो एक दूसरे से विभेदित होते हैं।
• कण एक दूसरे से विभेदित होते हैं।
• प्रत्येक कोश में 0, 1, 2, … n_i कण हो सकते हैं।
• निकाय में कुल कणों की संख्या सदैव नियत रहती है, अर्थात् n = Σn_i  = नियतांक
• विभिन्न समूहों में स्थित सभी कणों की ऊर्जा का योग अर्थात् निकाय की कुल ऊर्जा सदैव नियत रहती है, E = Σn_iε_i = नियतांक

• हम n स्वतंत्र कणों पर विचार करते हैं, जिन्हें एक दूसरे से पृथक किया जा सकता है।
• इन कणों को विभिन्न समूहों या स्तरों में इस प्रकार वितरित करना है कि
• ऊर्जा स्तर    ε_1, ε_2, ε_{3, …}ε_i 
• अपभ्रष्टता    g_1, g_2, g_{3, …}g_i 
• कणों की संख्या    n_1, n_2, n_{3, …}n_i 

• हम एक बक्से पर विचार करते हैं। इस बक्से में g_i  भाग हैं, जिसमें n_i कणों को वितरित करना है।

• प्रथम स्तर में n₁ कणों को वितरित करने के तरीके

• द्वितीय स्तर में n₂ कणों को वितरित करने के तरीके

           …     …     …     …     …     …

• अतः वितरण के कुल तरीके

• प्रथम कण को g_i समूहों में g_i प्रकार से समायोजित किया जा सकता है।
• चूंकि कोई बंधन नहीं है, अतः द्वितीय कण को g_i समूहों में g_i प्रकार से समायोजित किया जा सकता है।

           …          ….          ….          ….          ….

• इस प्रकार n_i कणों को g_i समूहों में समायोजित करने के कुल तरीके g_iⁿⁱ
• सम्पूर्ण निकाय के लिए कुल आइगन अवस्थाओं की संख्या

• आइगन अवस्थाओं की पूर्व प्रायिक अवधारणा के अनुसार

• स्टर्लिंग सन्निकट के अनुसार log x! = x log x – x

• अधिकतम प्रायिकता के लिए, δ log ω = 0

• अन्य शर्तें

           n = Σ n_i = नियतांक

या       δn = Σ δn_i = 0    …(2)

तथा   E = Σ n_i ε_i = नियतांक

या      δE = Σ ε_iδn_i = 0    …(3)

• लैगरांज के अनिर्धारित गुणक की विधि से, (1) + (2) × α + (3) × β

           Σ [{log (n_i / g_i ) + 1)} + α + βε_i ] δn_i = 0

• परन्तु δn_i स्वैच्छ है

∴      log (n_i / g_i ) + 1 + α + βε_i = 0

or     log (n_i / g_i ) + α + βε_i = 0

or      log (g_i / n_i ) = α + βε_i

or      (g_i / n_i ) = exp (α + βε_i )

or      n_i = g_i / exp (α + βε_i )