मैक्सवेल समीकरण

निर्वात् के लिए मैक्सवेल समीकरण

ये समीकरणें विद्युत चुम्बकीय सिद्धान्त का मूल आधार हैं।
इन समीकरणों का विद्युतचुम्बकीकि में वही स्थान है, जो न्यूटन के गति के नियमों का यांत्रिकी में है।
Maxwell’s equations generate the wave equations that predict the existence of electromagnetic waves propagate with the speed of light.

स्थिरविद्युतिकी में गाॅस का नियम ( मैक्सवेल का प्रथम समीकरण )

स्थिर विद्युतिकी में गाॅस के नियमानुसार किसी बन्द पृष्ठ से निर्गत कुल विद्युत फ्लक्स का मान उस बन्द पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश का 1/ε₀ गुणा होता है।
यदि ρ आयतन आवेश घनत्व हो, तो

$\;\;\;\;\; q=\int_{V}^{}\rho \;dV$

गाॅस नियम से

$\phi _{E}=\frac{q}{\varepsilon _{0}}=\frac{1}{\varepsilon _{0}}\int_{V}^{}\rho \;dV$

$But \;\;\;\;\; \phi _{E}=\oint_{S}^{}\vec{E}\cdot d\vec{s}$

$\therefore \;\;\;\;\; \oint_{S}^{}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{1}{\varepsilon _{0}}\int_{V}^{}\rho \;dV$

अपसरण प्रमेय (divergence theorem) से

$\oint_{S}^{}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\int_{V}^{}(\bigtriangledown \cdot \vec{E})dV$

$or\;\;\;\;\;\oint_{S}^{}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\int_{V}^{} \frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\;dV$

$or\;\;\;\;\;\bigtriangledown \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon _{0}}$

$or\;\;\;\;\;\bigtriangledown \cdot \vec{D}=\rho$

यह स्थिरविद्युतिकी में गाॅस नियम का अवकल रूप है तथा इसे मैक्सवेल का प्रथम समीकरण कहते हैं।

स्थिरचुम्बकीकि में गाॅस का नियम ( मैक्सवेल का द्वितीय समीकरण )

स्थिरचुम्बकीकि में गाॅस के नियम के अनुसार किसी बन्द पृष्ठ द्वारा परिबद्व कुल चुम्बकीय फ्लक्स का मान शून्य होता है।
यदि B चुम्बकीय प्रेरण हो, तो

$\phi _{B}=\oint_{S}^{}\vec B\cdot d\vec s=0$

$or\;\;\;\;\;\int_{V}^{}(\bigtriangledown \cdot \vec B)\; dV=0$

$or\;\;\;\;\;\bigtriangledown \cdot \vec B=0$

यह समीकरण मैक्सवेल का द्वितीय समीकरण है।
यह मैक्सवेल का द्वितीय समीकरण यह दर्शाता है कि चुम्बकीय प्रेरण B परिनालिकीय क्षेत्र है।
किसी तत्व में प्रवेश करने वाले चुम्बकीय फ्लक्स का मान इसमें से निकलने वाले फ्लक्स के मान के बराबर होता है या चुम्बकीय प्रेरण के स्रोत का अस्तित्व नहीं होता है।
किसी विलगित चुम्बकीय ध्रुव या चुम्बकीय एकल ध्रुव का अस्तित्व नहीं होता है।

फैराडे का विद्युत-चुम्बकीय प्रेरण का नियम ( मैक्सवेल का तृतीय समीकरण )

फैराडे के विद्युत-चुम्बकीय प्रेरण के नियमानुसार
जब किसी परिपथ से सम्बद्ध चुम्बकीय फ्लक्स में परिवर्तन होता है, तो प्रेरित वि.वा.बल (e) उत्पन्न होता है।
प्रेरित वि.बा.बल का मान फ्लक्स (φ_B) परिवर्तन की दर के समानुपाती होता है।

$e\propto \frac{d\phi _{B}}{dt}$

$or\;\;\;\;\;e=-\frac{d\phi _{B}}{dt}$

$\because \;\;\;\;\;e=\oint \vec E\cdot d\vec l\;\;\;and\;\;\;\phi _{B}=\oint_{S}^{}\vec B\cdot d\vec s$

$\therefore \;\;\;\;\;\oint \vec E\cdot d\vec l=-\frac{d}{dt}\left [ \oint_{S}^{}\vec B\cdot d\vec s\right ]$

स्टोक प्रमेय (Stokes’s theorem) से

$\oint \vec E\cdot d\vec l=\oint_{S}^{}(\triangledown \times \vec E)\cdot d\vec s$

$\therefore \;\;\;\;\;\oint_{S}^{}(\triangledown \times \vec E)\cdot d\vec s=-\frac{d}{dt}\left [ \oint_{S}^{}\vec B\cdot d\vec s\right ]$

$or\;\;\;\;\;\triangledown \times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}$

यह है फैराडे के विद्युत-चुम्बकीय प्रेरण नियम का अवकल रूप तथा इसे मैक्सवेल का तृतीय समीकरण कहते हैं।

एम्पीयर का संशोधित नियम ( मैक्सवेल का चतुर्थ समीकरण )

एम्पीयर के नियमानुसार किसी बन्द पथ के परितः चुम्बकीय प्रेरण का रेखीय समाकलन, उस बन्द पथ से गुजरने वाली कुल धारा का μ₀ गुणा होता है।

$\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu _{0}I$

$or\;\;\;\;\;\oint \vec B\cdot d\vec l=\mu _{0}(I_{C}+I_{D})\;\;\;\;(\because I = I_{C}+I_{D})$

$But\;\;\;\;\;I_{C}=\oint_{S}^{}\vec J\cdot d\vec s\;\;\;and\;\;\;I_{D}=\oint_{S}^{}\vec J_{D}\cdot d\vec s$

$\therefore \;\;\;\;\;\oint_{}^{}\vec B\cdot d\vec l=\mu _{0}\oint_{S}^{}(\vec J+ \vec J_{D})\cdot d\vec s$

स्टोक प्रमेय से

$\oint \vec B\cdot d\vec l=\oint_{S}^{}(\triangledown \times \vec B)\cdot d\vec s$

$\therefore \;\;\;\;\;\oint_{S}^{}(\triangledown \times \vec B)\cdot d\vec s=\mu _{0}\oint_{S}^{}(\vec J+ \vec J_{D})\cdot d\vec s$

$or \;\;\;\;\;(\triangledown \times \vec B)=\mu _{0}(\vec J+ \vec J_{D})$

$or\;\;\;\;\;\triangledown \cdot (\triangledown \times \vec B)=\mu _{0}[\triangledown \cdot (\vec J+\vec J_{D})]$

$or\;\;\;\;\;0=\mu _{0}[\triangledown \cdot (\vec J+\vec J_{D})]\;\;\;\;[\because \triangledown \cdot (\triangledown \times \vec B)=0]$

$or\;\;\;\;\;\triangledown \cdot \vec J_{D}=-\triangledown \cdot \vec J$ …(1)

$But\;\;\;\;\;\triangledown \cdot \vec J=-\frac{\partial \rho }{\partial t}\;\;\;and\;\;\;\triangledown \cdot \vec D=\rho$

$\therefore\;\;\;\;\;\triangledown \cdot \vec J=-\frac{\partial (\triangledown \cdot \vec D)}{\partial t}$ …(2)

अतः समीकरण (1) तथा (2) से,

$\triangledown \cdot \vec J_{D}=\triangledown \cdot \left ( \frac{\partial \vec D}{\partial t} \right )$

$or\;\;\;\;\;\vec J_{D}=\frac{\partial \vec D}{\partial t}$

$\because \;\;\;\;\;(\triangledown \times \vec B)=\mu _{0}(\vec J+ \vec J_{D})$

$or\;\;\;\;\;\triangledown \times \vec B=\mu _{0}\left ( \vec J + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \right )$

यह एम्पीयर नियम का संशोधित रूप है तथा इसे मैक्सवेल का चतुर्थ समीकरण भी कहते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों के बारे में विस्तार से जानने के लिए यहां क्लिक करें।

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