वास्तविक विश्लेषण (Real Analysis)

वास्तविक विश्लेषण तथा अभिसरण सिद्धान्त (Real Analysis and Theory of Convergence)

लेखक: डॉ. विमल सारस्वत, डॉ. अनिल कुमार मेनारिया, डॉ. गजेन्द्रपाल सिंह राठौड़

This book includes the following topics

वास्तविक संख्या निकाय (Real Number System)

• परिचय (Introduction)
• क्षेत्र अभिगृहीत (Field axiom)
• अद्वितीयता गुणधर्म (Uniqueness property)
• योग तथा गुणन के निरसन नियम (Cancellation law of addition and multiplication)
• क्रम अभिगृहित तथा क्रमित क्षेत्र (Order axiom and ordered field)
• धनात्मक वर्ग (Positive class)
• परिबद्धता (Boundedness)

उपरि परिबद्ध (Upper bound)
उच्चक (Supremum)
निम्न परिबद्ध (Lower bound)
निम्नक (Infimum)
परिबद्ध समुच्चय (Bounded set)

• उच्चतम तथा निम्नतम अवयव (Greatest and least element)
• पूर्णता अभिगृहीत (Completeness axiom)
• पूर्ण क्रमित क्षेत्र (Complete ordered field)
• वास्तविक संख्याओं के लिए आर्किमिडीय गुणधर्म (Archimedean property of real numbers)

आर्किमिडीय क्रमित क्षेत्र (Archimedean ordered field)

• मध्यता प्रमेय (Betweenness theorem)
• डेडेकाइन्ड पूर्णता अभिगृहीत (Dedekind’s completeness axiom)
• अपरिमेय संख्याएं (Irrational numbers)
• परिमेय घनत्व प्रमेय या सघनता गुणधर्म (Rational density theorem or denseness property)
• वास्तविक संख्या का मापांक या निरपेक्ष मान (Absolute value of a real number or Modulus)

बिन्दु समुच्चय सांस्थितिकी (Point Set Topology)

• परिचय (Introduction)
• वास्तविक संख्या का प्रतिवेश/सामीप्य (Neighbourhood (nbd) of a real number)
• प्रतिवेश के गुणधर्म (Properties of neighbourhood)
• समुच्चय के आन्तरिक तथा बाह्य बिन्दु (Interior and exterior point of a set)
• समुच्चय का अभ्यन्तर (Interior of a set)
• विवृत समुच्चय (Open set)
• समुच्चय का सीमा बिन्दु (Limit point of a set)
• व्युत्पन्न समुच्चय और संवृत समुच्चय (Derived set and closed set)
• संवरक (Closure)
• विवृत तथा संवृत अन्तराल (Open and closed interval)
• नीडित अन्तराल गुणधर्म (Nested interval property)
• बॉलजनो-वाइस्ट्रॉस प्रमेय (Bolzano-Weierstrass theorem)
• पूरक समुच्चय (Complement of set)
• विवृत आवरक, उपआवरक तथा संहत समुच्चय (Open cover, subcover and compact set)
• हेने-बोरल प्रमेय (Heine Borel theorem)
• सम्बद्ध तथा असम्बद्ध समुच्चय (Connected and disconnected set)

गणनीय समुच्चय (Countable Sets)

• परिचय (Introduction)
• तुल्य समुच्चय (Equivalent sets)
• परिमित तथा अपरिमित समुच्चय (Finite and infinite set)
• गणनीय समुच्चय (Countable set)
• अगणनीय समुच्चय (Uncountable set)
• केन्टर टरनरी समुच्चय (Cantor ternary set)
• द्विआधारी प्रसार (Binary representation)
• त्रिआधारी प्रसार (Ternary representation)
• केन्टर टरनरी समुच्चय का निर्माण (Construction of Cantor ternary set)
• केन्टर टरनरी समुच्चय के गुणधर्म (Properties of Cantor ternary set)

वास्तविक अनुक्रम (Real Sequences)

• परिचय (Introduction)
• अनुक्रम (Sequence)
• अनुक्रम का परिसर (Range of a sequence)
• परिबद्ध और अपरिबद्ध अनुक्रम (Bounded and unbounded sequence)
• अनुक्रम का उच्चक तथा निम्नक (Supremum and infimum of sequence)
• एकदिष्ट अनुक्रम (Monotonic sequence)
• अनुक्रम का सीमा बिन्दु (Limit point of a sequence)
• बॉलजनो-वाइस्ट्रॉस प्रमेय (Bolzano-Weierstrass theorem)
• अनुक्रम की सीमा (Limit of a sequence)
• अभिसारी अनुक्रम (Convergent sequence)
• अपसारी अनुक्रम (Divergent sequence)
• दोलनी अनुक्रम (Oscillatory sequence)
• अभिसारी अनुक्रम की प्रमेय (Theorems on convergence sequences)
• एकदिष्ट अनुक्रम के अभिसरण की प्रमेय (Theorems on convergence of monotonic sequences)
• अनुक्रमों का बीजगणित (Algebra of sequences)
• सेण्डविच प्रमेय (Sandwich theorem)
• उच्च सीमा एवं निम्न सीमा (Limit superior and limit inferior)
• उप-अनुक्रम (Sub-sequence)
• उप-अनुक्रम के कुछ प्रमेय (Some theorems of sub-sequence)
• कॉशी अनुक्रम या मूल अनुक्रम (Cauchy’s sequence or fundamental sequence)
• कॉशी अनुक्रम की कुछ प्रमुख प्रमेय (Some important theorems of Cauchy’s sequence)
• अनुक्रमों के अभिसरण के लिए कॉशी का सामान्य सिद्धान्त (Cauchy’s general principle of convergence for sequence)
• कॉशी की सीमा पर प्रथम प्रमेय (Cauchy’s first theorem on limits)
• कॉशी की सीमा पर द्वितीय प्रमेय (Cauchy’s second theorem on limits)
• सीजेरो प्रमेय (Cesaro’s theorem)

अनन्त श्रेणियाँ (Infinite Series)

• परिचय (Introduction)
• श्रेणी के आंशिक योगफलों का अनुक्रम (Sequence of partial sums of series)
• अनन्त श्रेणी की प्रकृति (Nature of an infinite series)
• कुछ महत्वपूर्ण प्रमेय (Some important theorems)

कॉशी का अभिसरण का सामान्य सिद्धान्त (Cauchy’s general principle of convergence); गुणोत्तर श्रेणी का अभिसरण परिक्षण (Test of the convergence of geometric series)

• प्रथम प्रकार के तुलनात्मक परिक्षण (Comparative tests of the first type)
• द्वितीय प्रकार के तुलनात्मक परिक्षण (Comparative tests of the second type)

अनुपात तुलना परिक्षण (Ratio-comparison test); द-अलेम्बर्ट अनुपात परिक्षण (D’ Alembert’s ratio test); राबे परिक्षण (Raabe’s test); डी-मॉर्गन एवं बर्टन्डस परिक्षण (de Morgan’s and Bertrand’s test); लघुगणकीय अनुपात परिक्षण (Logarithmic ratio test); द्वितीय लघुगणकीय अनुपात परिक्षण (Second logarithmic ratio test); गॉस परिक्षण (Gauss’s test)

• कुछ अन्य उपयोगी परिक्षण (Some other useful tests)

कॉशी का nवाँ मूल परिक्षण (Cauchy’s n^th root test); कॉशी संघनन परिक्षण (Cauchy’s condensation test)

• एकान्तर श्रेणी (Alternating series)
• निरपेक्ष अभिसरण (Absolute convergence)
• सप्रतिबन्ध अभिसरण (Conditionally convergence)

एकसमान अभिसरण (Uniform Convergence)

• परिचय (Introduction)
• फलनों के अनुक्रम का बिन्दुशः अभिसरण (Pointwise convergence of a sequence of functions)
• एकसमान अभिसरण (Uniform convergence)
• फलनों की श्रेणी (Series of functions)
• एकसमान अभिसरण के लिए कॉशी-मानदण्ड (Cauchy’s criterion for uniform convergence)
• फलनों का अनुक्रम एवं श्रेणी के एकसमान अभिसरण होने के लिये परिक्षण (Test for uniform convergence of a sequence and series of functions)
• एकसमान अभिसरण तथा सांतत्यता (Uniform convergence and continuity)
• पदशः समाकलन (Term by term integration)
• अनन्त श्रेणी के पदशः समाकलन के लिए पर्याप्त प्रतिबन्ध (A sufficient condition for term by term integration of an infinite series)
• श्रेणी के पदशः अवकलन होने के लिए पर्याप्त प्रतिबन्ध (A sufficient condition for term by term differentiation of the series)

अनन्त समाकलन (Improper Integrals)

• परिमित तथा अपरिमित अन्तराल (Finite and infinite intervals)
• परिबद्ध फलन (Bounded function)
• अनन्त समाकलन (Improper integral)
• अनन्त समाकल के प्रकार (Types of improper integral)
• प्रथम प्रकार के अनन्त समाकल का अभिसरण (Convergence of improper integral of first kind)
• प्रथम प्रकार के अनन्त समाकल के लिए अभिसरण के परिक्षण (Convergence tests for the improper integral of first kind)
• द्वितीय प्रकार के अनन्त समाकल का अभिसरण (Convergence of improper integral of second kind)
• द्वितीय प्रकार के अनन्त समाकल के लिए अभिसरण के परिक्षण (Convergence tests for the improper integral of second kind)
• तृतीय प्रकार के अनन्त समाकलों का अभिसरण (Convergence of improper integrals of third kind)

रीमान समाकलन (Riemann Integration)

• परिचय (Introduction)
• संवृत अंतराल का विभाजन (Partition of a closed interval)
• विभाजन का मानक (Norm of partition)
• सूक्ष्मतर विभाजन (Refinement of a partition)
• उच्चक एवं निम्नक (Supremum and infimum)
• उपरि तथा निम्न डार्बू योग (Upper and lower Darboux sum)
• डार्बू योग के प्रमेय (Theorems on Darboux sum)
• उपरि तथा निम्न रीमान समाकलन (Upper and lower Riemann integral)
• समाकल फलन (Integral function)
• रीमान समाकलन (Riemann integral)
• रीमान समाकलन के प्रमेय (Theorems of Riemann integral)

फलन के R-समाकलनीय होने के लिए आवश्यक तथा पर्याप्त प्रतिबन्ध (Necessary and sufficient condition for a function to be R-integrable)

• रीमान समाकलनीय फलनों के विशेष वर्ग (Particular classes of Riemann integrable functions)
• रीमान समाकलन योग की सीमा के रूप में (Riemann integral as the limit of a sum)
• रीमान समाकलनीय फलनों के गुणधर्म (Properties of Riemann integral function)
• समाकल फलन (Integral function)
• समाकल फलन के गुणधर्म (Properties of integral function)
• पूर्वग (Primitive)
• समाकलन के माध्यमान प्रमेय (Mean value theorems of integral calculus)
• समाकलन की मूलभूत प्रमेय (Fundamental theorem of integral)
• समाकलन की विधियाँ (Techniques of integration)

फूरियर श्रेणी (Fourier Series)

• परिचय (Introduction)
• आवर्ती फलन (Perodic functions)
• निश्चित समाकल के गुणधर्म (Properties of definite integral)
• कुछ महत्वपूर्ण निश्चित समाकल (Some important definite integrals)
• फूरियर श्रेणी (Fourier series)
• फूरियर श्रेणी के प्रसार के लिये डिरचलेट प्रतिबन्ध (Dirichlet’s conditions for the expansion of a Fourier series)
• सम एवं विषम फलन (Even and odd functions)
• सम तथा विषम फलनों के लिए फूरियर श्रेणी (Fourier series for even and odd functions)
• फूरियर की अर्द्ध परिसर श्रेणी(Fourier’s half range series)
• फूरियर श्रेणी के अन्य रूप (Other forms of Fourier series)